Saturday, July 14, 2012

Toán Olimpia

Vài bài tập cho những ai thích nghiên cứu. Chỉ cần kiến thứ cơ sở (2 năm đầu đại học), nhưng phải suy luận.

Bài 1. Gọi \mathbb{R}^2 là mặt phẳng với khoảng cách Euclide thông thường. Giả sử f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 là một ánh xạ bảo toàn khoảng cách 1. (Tức là nếu d(x,y)=1 thì d(f(x),f(y)) = 1
trong đó d ký hiệu khoảng cách Euclide). Chứng minh rằng f là một đẳng cự a-fin (affine isometry).

Bài 2. Cho X là một miền lồi compact trong \mathbb{R}^2 với khoảng cách Euclide thông thường và gọi \delta là đường kính của X. Gọi z là một điểm bất kỳ của \mathbb{R}^2. Chứng minh rằng khoảng cách trung bình từ z đến các điểm của X lớn hơn hoặc bằng \delta / 12. (Khi nào dấu bằng xảy ra ?)

Bài 3. (Bất đẳng thức nội suy Kolmogorov) Giả sử f là một hàm thực khả vi liên tục 2 lần sao cho f
và f'' có bình phương khả tích trên \mathbb{R}^2.

a) Chứng minh rằng f' cũng có bình phương khả tích trên \mathbb{R}^2.
b) Chứng minh rằng
(\int_{\mathbb R} (f'(x))^2 dx)^2 \leq (\int_{\mathbb R} (f'(x))^2 dx)(\int_{\mathbb R} (f''(x))^2 dx)
c) Chứng minh rằng f liên tục đều trên \mathbb{R}^2 và tiến tới 0 tại vô cùng.
Posted by at
Labels:

No comments:

Post a Comment

Subscribe to: Post Comments (Atom)